PS 이야기

트리에서 지름이란, 가장 먼 두 정점 사이의 거리 혹은 가장 먼 두 정점을 연결하는 경로를 의미한다. 선형 시간안에 트리에서 지름을 구하는 방법은 다음과 같다:

1. 트리에서 임의의 정점 $x$를 잡는다.

2. 정점 $x$에서 가장 먼 정점 $y$를 찾는다.

3. 정점 $y$에서 가장 먼 정점 $z$를 찾는다.

트리의 지름은 정점 $y$와 정점 $z$를 연결하는 경로다.

증명) 트리에서 정점 $u$와 정점 $v$를 연결하는 경로가 트리의 지름이라고 가정하자. 임의의 정점 $x$를 정하고, 정점 $x$에서 가장 먼 정점 $y$를 찾았을 때, 아래와 같이 경우를 나눌 수 있다.

i. $x$가 $u$ 혹은 $v$인 경우

ii. $y$가 $u$ 혹은 $v$인 경우

iii. $x$, $y$, $u$, $v$가 서로 다른 경우

자명하게 i., ii.에 대해서 위 알고리즘이 트리의 지름을 올바르게 구한다는 것을 알 수 있다. 이제 iii. 경우에 대해서 알고리즘이 트리의 지름을 올바르게 구한다는 것을 증명하면 된다. iii. 경우일 때 아래와 같이 두 가지 경우가 가능하다.

a. 정점 $x$와 정점 $y$를 연결하는 경로가 정점 $u$와 정점 $v$를 연결하는 경로와 한 점 이상 공유하는 경우

b. 정점 $x$와 정점 $y$를 연결하는 경로가 정점 $u$와 정점 $v$를 연결하는 경로와 완전히 독립인 경우

$d(s, t)$를 트리에서 정점 $s$와 정점 $t$의 거리라고 하자. a.의 경우 아래 그림에서 $d(t, y) = \max(d(t, u), d(t, v))$라는 것을 알 수 있다. 때문에 위 알고리즘은 트리의 지름을 올바르게 구한다.

b.의 경우 아래 그림과 같은 상황이 된다는 것인데 $u$에서 제일 먼 점이 $v$가 아니라 $y$가 되어 $u$와 $v$를 연결하는 경로가 트리의 지름이 된다는 가정에 모순된다. 때문에 b.의 경우는 불가능하다는 것을 알 수 있다.

때문에 소개한 알고리즘은 트리의 지름을 올바르게 구한다는 것을 증명했다.