PS 이야기

Bostan Mori 알고리즘은 2020년 8월 Alin Bostan과 Ryuhei Mori가 작성한 이 논문에 소개되어 있는 선형점화식을 가지는 수열의 $N$ 번째 항을 빠르게 구하는 알고리즘이다. Bostan Mori 알고리즘 이외에 선형점화식을 가지는 수열의 $N$ 번째 항을 빠르게 구하는 방법은 이 글을 참고하자. $D_0, D_1, \cdots, D_{k-1}$과 $c_1, c_2, \cdots, c_k$가 주어졌을 때, $i \ge k$인 $D_i$를 다음과 같은 선형점화식으로 구할 수 있다고 하자. $$D_i = \sum_{j=1}^{k}{c_jD_{i-j}} = c_1D_{i-1} + c_2D_{i-2} + \cdots + c_kD_{i-k}$$ 이러한 선형점화식이 주어졌을 때, $D_N$..

$D_0, D_1, \cdots, D_{k-1}$과 $c_1, c_2, \cdots, c_k$가 주어졌을 때, $i \ge k$인 $D_i$를 다음과 같은 선형점화식으로 구할 수 있다고 하자. $$D_i = \sum_{j=1}^{k}{c_jD_{i-j}} = c_1D_{i-1} + c_2D_{i-2} + \cdots + c_kD_{i-k}$$ 이러한 선형점화식을 가지는 가장 유명한 예시는 피보나치 수열이다. 피보나치 수열은 위 식에서 $k=2$, $D_0 = 1$, $D_1 = 1$, $c_1 = 1$, $c_2 = 2$이다. 이러한 선형점화식이 주어졌을 때, $D_N$을 빠르게 구하는 방법을 알아보자. 1) 행렬 곱셈을 이용한 방법 $$\begin{pmatrix} D_N \\ D_{N-1}\\ D_{N..

차수가 $n$인 다항식 $f(x) = c_0 + c_1x^1 + c_2x^2 + \cdots + c_nx^n (c_n \ne 0)$가 있다. 그리고 차수 $m$인 다항식 $g(x) = d_0 + d_1x^1 + d_2x^2 + \cdots + d_mx^m (d_m \ne 0)$이 있다. 이를 다항식 $q$와 $r$을 이용하여, $f(x) = g(x)q(x) + r(x)$라고 나타내 보자. $r(x)$의 차수가 $m$보다 작은 경우, $f$를 $g$로 나눈 몫을 $q$, 나머지를 $r$이라고 정의한다. 다항식 $q$의 차수는 $n-m$이다. 다항식의 나눗셈을 교과과정에서 배운대로 구현한다면 $O(nm)$ 시간복잡도가 된다. 이를 좀 더 빠르게 하는 방법에 대해서 알아보자. $\textrm{Rev}(f)$를..

유용한 링크: MIT 강의 자료 어떤 문자열이 있고, 각 알파벳에 바이너리를 할당한다. 할당된 바이너리는 어떤 것이 다른 것의 prefix가 되면 안 된다. 문자열을 알파벳에 할당된 바이너리로 표현할 때 바이너리의 크기를 최소화하는 문제가 있다. 이는 매우 일반적인 압축 알고리즘을 필요로 하는 상황이다. Huffman Coding은 이 문제에 대한 최적해를 $O(N \lg N)$ 시간에 구한다. 각색은 다르지만, Huffman Coding과 같은 상황인 문제는 BOJ 13975번 파일 합치기 3이 있다. Huffman coding - Wikipedia From Wikipedia, the free encyclopedia Jump to navigation Jump to search Technique to c..

유용한 링크: 위키백과, Skew heap visualization, NTU 강의자료 Skew heap(혹은 self-adjusting heap)은 이진트리로 구현된 힙 자료구조다. 우리가 배운 기본적인 힙은 완전이진트리이므로 배열과 인덱스를 이용하여 편하게 구현이 가능하다. 그러나, Skew heap은 완전이진트리가 아닌 그냥 이진트리이므로 배열을 이용한 구현을 할 수 없다. 그렇다면, 일반 힙이 아닌 Skew heap이 필요한 순간은 언제일까? 바로, 서로 다른 두 힙을 하나로 빠르게 합치고 싶은 순간에 쓸 수 있다. 서로 다른 두 힙을 하나로 합치는 것을 merge 연산이라고 한다. Skew heap은 merge 연산 중간, 왼쪽 자식과 오른쪽 자식을 무조건적으로 바꿔주어 균형을 유지한다. 이 me..

길이가 $n$인 문자열 $s$가 있다. $1 \leq i \lt n$인 $i$에 대해 $z[i]$를 $i$에서 시작하는 suffix와 $s$의 가장 긴 common prefix의 길이라고 정의하자. 편의상 $z[0] = 0$이다. 이러한 $z$ 배열을 문자열 $s$의 Z-function이라고 부른다. 예를 들어, 문자열 "aaaaa"의 경우, $z = [0, 4, 3, 2, 1]$이 되며, 문자열 "aaabaab"의 경우, $z = [0, 2, 1, 0, 2, 1, 0]$이 되고, 문자열 "abacaba"의 경우, $z = [0, 0, 1, 0, 3, 0, 1]$이 된다. Z-function을 $O(n^2)$ 시간복잡도로 naive 하게 구하면 아래와 같이 코딩할 수 있다. vector z_functio..

Convex Hull Optimizaiton 중에 추가되는 직선의 기울기에 경향성이 없다면, 직선들을 스택으로 관리하지 못하고, set으로 관리하여 lower_bound 같은 연산을 잘 활용해주어 해결해야 한다. 그런데 이렇게 코딩하는 것은 여간 쉬운 일이 아니다. 실제로 Convex Hull Optimization을 사용하는 DP 문제는 아니지만, 이런 상황을 잘 표현해주는 예시 문제(반평면 땅따먹기)로 설명을 이어가겠다. 직선들을 set으로 관리하는 방법으로 위 문제를 해결하면 코드는 다음과 같이 되며, 꽤나 복잡하다. 더보기 #include using namespace std; #define MAXN 100005 typedef __int64_t lld; typedef __int128_t lll; i..

참고자료: 위키백과 Stern-Brocot 트리는 모든 양의 유리수가 정점과 일대일이 되는 무한한 완전 이진트리다. 또한, 이진탐색트리처럼 왼쪽에서 오른쪽 방향으로 탐색 가능하다. 연분수에 의한 트리 양의 유리수는 $q$ 는 아래와 같은 연분수 꼴로 표현할 수 있고, 이를 수열 $a$로도 표현할 수 있다. $q = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{\ddots + \cfrac{1}{a_k}}}} = [a_0; a_1, a_2, \dots, a_k]$ 여기서 $k$와 $a_0$는 음이 아닌 정수고, 나머지 $a_i$는 양의 정수다. 이러한 표현은 유일하지 않은데 다음과 같이 수열의 맨 끝 $a_k$가 $1$일 때는 중복이 있기 때문이다. $[a_0; a_..

트리에서 지름이란, 가장 먼 두 정점 사이의 거리 혹은 가장 먼 두 정점을 연결하는 경로를 의미한다. 선형 시간안에 트리에서 지름을 구하는 방법은 다음과 같다: 1. 트리에서 임의의 정점 $x$를 잡는다. 2. 정점 $x$에서 가장 먼 정점 $y$를 찾는다. 3. 정점 $y$에서 가장 먼 정점 $z$를 찾는다. 트리의 지름은 정점 $y$와 정점 $z$를 연결하는 경로다. 증명) 트리에서 정점 $u$와 정점 $v$를 연결하는 경로가 트리의 지름이라고 가정하자. 임의의 정점 $x$를 정하고, 정점 $x$에서 가장 먼 정점 $y$를 찾았을 때, 아래와 같이 경우를 나눌 수 있다. i. $x$가 $u$ 혹은 $v$인 경우 ii. $y$가 $u$ 혹은 $v$인 경우 iii. $x$, $y$, $u$, $v$가 서..

Convex Hull Optimization이란, Convex Hull Trick이라고도 알려져있으며 특정 점화식 꼴을 가지는 동적계획법에서 시간을 줄이는 방법이다. IOI2002에 처음 나왔다고는 하나, 제대로 알려지기 시작한 것은 APIO2010 특공대 문제 이후라고 생각한다. 때문에 APIO2010 특공대 문제를 예시로 Convex Hull Optimization 설명을 시작하겠다. $S_i = \sum_{k=1}^{i} x_k$ 를 정의하자. 단, $S_0 = 0$ DP 배열을 아래와 같이 정의한다. $D_i$ = 1번부터 $i$번 병사까지 특공대를 나눌 때 전투력 합의 최대값. 단, $D_0 = 0$ 이 때, 점화식은 아래와 같이 된다. $D_i = \max(D[j] + A(S_i-S_j)^2 ..