PS 이야기

Bostan Mori 알고리즘은 2020년 8월 Alin Bostan과 Ryuhei Mori가 작성한 이 논문에 소개되어 있는 선형점화식을 가지는 수열의 $N$ 번째 항을 빠르게 구하는 알고리즘이다. Bostan Mori 알고리즘 이외에 선형점화식을 가지는 수열의 $N$ 번째 항을 빠르게 구하는 방법은 이 글을 참고하자. $D_0, D_1, \cdots, D_{k-1}$과 $c_1, c_2, \cdots, c_k$가 주어졌을 때, $i \ge k$인 $D_i$를 다음과 같은 선형점화식으로 구할 수 있다고 하자. $$D_i = \sum_{j=1}^{k}{c_jD_{i-j}} = c_1D_{i-1} + c_2D_{i-2} + \cdots + c_kD_{i-k}$$ 이러한 선형점화식이 주어졌을 때, $D_N$..

$D_0, D_1, \cdots, D_{k-1}$과 $c_1, c_2, \cdots, c_k$가 주어졌을 때, $i \ge k$인 $D_i$를 다음과 같은 선형점화식으로 구할 수 있다고 하자. $$D_i = \sum_{j=1}^{k}{c_jD_{i-j}} = c_1D_{i-1} + c_2D_{i-2} + \cdots + c_kD_{i-k}$$ 이러한 선형점화식을 가지는 가장 유명한 예시는 피보나치 수열이다. 피보나치 수열은 위 식에서 $k=2$, $D_0 = 1$, $D_1 = 1$, $c_1 = 1$, $c_2 = 2$이다. 이러한 선형점화식이 주어졌을 때, $D_N$을 빠르게 구하는 방법을 알아보자. 1) 행렬 곱셈을 이용한 방법 $$\begin{pmatrix} D_N \\ D_{N-1}\\ D_{N..

차수가 $n$인 다항식 $f(x) = c_0 + c_1x^1 + c_2x^2 + \cdots + c_nx^n (c_n \ne 0)$가 있다. 그리고 차수 $m$인 다항식 $g(x) = d_0 + d_1x^1 + d_2x^2 + \cdots + d_mx^m (d_m \ne 0)$이 있다. 이를 다항식 $q$와 $r$을 이용하여, $f(x) = g(x)q(x) + r(x)$라고 나타내 보자. $r(x)$의 차수가 $m$보다 작은 경우, $f$를 $g$로 나눈 몫을 $q$, 나머지를 $r$이라고 정의한다. 다항식 $q$의 차수는 $n-m$이다. 다항식의 나눗셈을 교과과정에서 배운대로 구현한다면 $O(nm)$ 시간복잡도가 된다. 이를 좀 더 빠르게 하는 방법에 대해서 알아보자. $\textrm{Rev}(f)$를..